El pasado viernes, comiendo con unos compañeros de trabajo, salió a colación el tema del cálculo de probabilidades, en relación a las loterías. Y hablamos de que una de las cosas que más le cuesta a nuestro imperfecto cerebro es estimar probabilidades así, a palo seco. La verdad es que de hecho somos bastante malos, y conviene que lo sepamos, porque en según que situaciones nos puede jugar una mala pasada. El caso es que esta tarde estaba viendo la charla que dio para Amazings uno de los autores del siempre recomendable blog Gaussianos, y mencionaban una de las paradojas probabilísticas más comunes: la paradoja del cumpleaños.
El planteamiento es el siguiente: imagina que montas una fiesta en tu casa, y una vez allí, dos de los invitados descubren que cumplen años el mismo día. “¡Qué casualidad! ¡Es increíble, ¿cual debe ser la probabilidad? Debe ser bajísima, ¿no?” Evidentemente, la probabilidad depende de tus dotes sociales, es decir, del número de personas que hayan ido a la fiesta. De hecho, inspirado por los gin-tonics, te surge en ese momento una pregunta: ¿cuantas personas tendría que haber en la fiesta para que la probabilidad de que dos de ellas cumplan años el mismo día sea superior al 50%? Si os pasa como a mí, vuestra primera reacción será pensar que muchas, como unas 100 o así (a ojo), pero lo cierto es que la respuesta es un número mucho más bajo de lo que podría parecer. En concreto 23.
En efecto, con sólo 23 personas la probabilidad de que 2 de ellas nacieran el mismo día del año es ya de más del 50%, y si tenéis una vida social más animada y a vuestra fiesta han venido más de 40 amigos, la probabilidad sube hasta el 90%.
Aunque estos números resulten extraños, haciendo unas pocas cuentas veremos que en realidad es más sencillo de lo que parece. Para ello vamos a calcular la probabilidad contraria, es decir, que en un grupo de n personas todas cumplan años en días distintos. La primera persona podrá haber nacido el día que sea, pero para que se cumpla la premisa, el segundo tiene que haber nacido en uno de los otros 364 días. Al tercero le quedarán por tanto 363 días disponibles, al cuarto 362, y así sucesivamente. La probabilidad de que todos ellos hayan nacido en días distintos es por tanto:
Así hasta n veces. Esta ecuación se puede generalizar de la siguiente forma:
de manera que para n=23; quedaría (365*364*…*343)/365^23, que nos da un resultado de 0,493. Como ésta era la probabilidad de que todos hubieran nacido en días distintos, la probabilidad de que al menos dos hayan nacido el mismo día sería 1-0,493=0,507, es decir, del 50,7%.
Así que ya sabéis, no es tan raro encontrar gente que cumple años el mismo día en un grupo de gente. Aunque en realidad el ejemplo no es una paradoja matemática sino una solución contraintuitiva, no deja de ser un sencillo ejemplo que nos da una idea de lo mal que evaluamos las probabilidades.
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